Question

已知x，y為正實(shí)數(shù)，且2x+y=1．①求

1

x

+

1

y

的最小值；②求x²y的最大值．

Answer 1

分析：①根據(jù)條件，可將2x+y=1代入

1

x

+

1

y

，應(yīng)用基本不等式即可；
②x²y=x²（1-2x=）x•x•（1-2x），應(yīng)用基本不等式即可．

解答：解：①∵x，y為正實(shí)數(shù)，且2x+y=1，∴

1

x

+

1

y

=(

1

x

+

1

y

)(2x+y)=3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

2

，(

1

x

+

1

y

)min=3+2

2

；②∵x，y為正實(shí)數(shù)，且2x+y=1，∴y=1-2x＞0，∴0＜x＜

1

2

，∴x²y=x²（1-2x）=x•x•（1-2x）≤(

1

3

)3=

1

27

，
∴（x²•y）_max=

1

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式，難點(diǎn)在于將②中的x²y轉(zhuǎn)化為x²（1-2x）=x•x•（1-2x），再應(yīng)用基本不等時(shí)求最值，屬于中檔題．