Question

設(shè)a，b∈R，且a≠2，若定義在區(qū)間(-b，b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)，則a+b的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意和奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x）求出a的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應(yīng)是定義域的子集，求出b的范圍進(jìn)而求出a+b的范圍．

解答：解：∵定義在區(qū)間（-b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg

1+ax

1+2x

是奇函數(shù)，
∴任x∈（-b，b），f（-x）=-f（x），即lg

1-ax

1-2x

=-lg

1+ax

1+2x

，
∴lg

1-ax

1-2x

=lg

1+2x

1+ax

，則有

1-ax

1-2x

=

1+2x

1+ax

，
即1-a²x²=1-4x²，解得a=±2，
又∵a≠2，∴a=-2；則函數(shù)f（x）=lg

1-2x

1+2x

，
要使函數(shù)有意義，則

1-2x

1+2x

＞0，即（1+2x）（1-2x）＞0
解得：-

1

2

＜x＜

1

2

，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?

1

2

，

1

2

），
∴（-b，b）⊆（-

1

2

，

1

2

），∴0＜b≤

1

2

∴-2＜a+b≤-

3

2

，即所求的范圍是(-2，-

3

2

]；
故答案為：(-2，-

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關(guān)系求出b的范圍，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)定義的運(yùn)用能力．