Question

6．若鈍角△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列且a＜b＜c，則$\frac{ac}{^{2}}$的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）．

Answer 1

分析 用a，c表示出b，根據(jù)鈍角三角形得出$\frac{c}{a}$的范圍，將$\frac{ac}{^{2}}$表示成$\frac{c}{a}$的函數(shù)，根據(jù)$\frac{c}{a}$的范圍得出$\frac{ac}{^{2}}$的范圍．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴b=$\frac{a+c}{2}$．
∵△ABC是鈍角三角形，∴c²＞a²+b²，即c²＞a²+$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}$，∴3c²-5a²-2ac＞0．
即3（$\frac{c}{a}$）²-2$\frac{c}{a}$-5＞0，解得$\frac{c}{a}$＞$\frac{5}{3}$．
又a+b＞c，即a+$\frac{a+c}{2}$＞c，∴$\frac{c}{a}$＜3．
∴$\frac{ac}{^{2}}$=$\frac{ac}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}}$=$\frac{4ac}{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}$=$\frac{4}{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+2}$．
令$\frac{c}{a}=t$，則$\frac{a}{c}=\frac{1}{t}$，f（t）=$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$=t+$\frac{1}{t}$，
f′（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$，∴當$\frac{5}{3}$＜t＜3時，f（t）為增函數(shù)，
∴當t→$\frac{5}{3}$時，$\frac{ac}{^{2}}$→$\frac{4}{\frac{5}{3}+\frac{3}{5}+2}$=$\frac{15}{16}$，當t→3時，$\frac{ac}{^{2}}$→$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$＜$\frac{ac}{^{2}}$＜$\frac{15}{16}$．
故答案為：（$\frac{3}{4}$，$\frac{15}{16}$）．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查換元法解題的數(shù)學思想，屬于中檔題．