Question

18．計算：
（1）（2+$\frac{1}{3}$）+（4+$\frac{1}{9}$）+…+（2n+$\frac{1}{{3}^{n}}$）
（2）（a-1）+（a²-2）+…+（aⁿ-n）

Answer 1

分析 （1）分組分別利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出；
（2）對a分類討論，分別利用等差數列與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）原式=（2+4+…+2n）+（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{n（2+2n）}{2}$+$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=n²+n+$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
（2）當a=0時，原式=-1-2-…-n=$-\frac{n（n+1）}{2}$；
當n=1時，原式=（1-1）+（1-2）+…（1-n）=n$-\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{n-{n}^{2}}{2}$；
當n≠0，1時，原式=（a+a²+…+aⁿ）+（-1-2-…-n）=$\frac{a（{a}^{n}-1）}{a-1}$-$\frac{n（1+n）}{2}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．