Question

已知α，β≠

π

2

+kπ（k∈Z）且sinα是sinθ、cosθ的等差中項，sinβ是sinθ、cosθ的等比中項．求證：

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

．

Answer 1

分析：所證明的式子中不含角θ，因此先由已知，考慮將θ作為橋梁，溝通α，β，得出4sin²α-2sin²β=1．再將所證明的式子切函數化成弦函數，等價變形，與上式一致即可．．

解答：證明：由題意，sinθ+cosθ=2sinα ①，sinθ•cosθ=sin²β ②，…（2分）
①²-2×②消去θ得4sin²α-2sin²β=1③．…（5分）
另一方面，要證

1-tan2α

1+tan2α

=

1-tan2β

2(1+tan2β)

，即證

1- sin2α cos2α

1+ sin2α cos2α

=

1- sin2β cos2β

2(1+ sin2β cos2β )

 …（7分）
即證cos²α-sin²α=

1

2

（cos²β-sin²β）           …（9分）
即證1-2sin²α=

1

2

（1-2sin²β）           …（11分）
亦即證4sin²α-2sin²β=1，而此式在③已證，故原等式成立．…（13分）

點評：本題考查三角函數恒等式的證明，要求靈活運用同角三角函數間的基本關系，以及二倍角的正弦、余弦函數公式化簡求值，具有減元，切化弦的意識和方法．