Question

已知點(diǎn)A（4，0），B（0，3），O（0，0），點(diǎn)P是△ABO內(nèi)切圓上一點(diǎn)，
（1）求△ABO內(nèi)切圓方程．
（2）求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等面積可求△ABO內(nèi)切圓的圓心及半徑，從而可得△ABO內(nèi)切圓方程；
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-4）²+y²+x²+y²+x²+（y-3）²=
3x²+3y²-6x-6y+3-2x+22=2x+22，（0≤x≤2），由此可求|PA|²+|PB|²+|PC|²的最大與最小值．

解答：解：（1）設(shè)△ABO內(nèi)切圓的圓心為（a，a）
∵A（4，0），B（0，3），O（0，0），
∴|OB|=3，|OA|=4，|AB|=5
∴

1

2

×3×4=

1

2

×(3+4+5)×a
∴a=1
∴△ABO內(nèi)切圓的圓心為（1，1），半徑為1
∴△ABO內(nèi)切圓方程為（x-1）²+（y-1）²=1
（2）設(shè)P（x，y），則|PA|²+|PB|²+|PC|²=（x-4）²+y²+x²+y²+x²+（y-3）²=3x²+3y²-6x-6y+3-2x+22
∵點(diǎn)P是△ABO內(nèi)切圓上一點(diǎn)
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∴3x²+3y²-6x-6y+3=0
∴|PA|²+|PB|²+|PC|²=-2x+22，（0≤x≤2），
∴x=0時(shí)取最大值，最大值為22；
x=2時(shí)取最小值，最小值為18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是利用等面積求三角形內(nèi)切圓的圓心與半徑，屬于中檔題．