Question

設(shè)f（x）=alnx（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+b（b∈R）．
（1）求a、b的值；
（2）設(shè)集合A=[1，+∞），集合B={x|f（x）-m（x-

1

x

）≤0}，若A⊆B，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x+b，可求a、b的值；
（2）由A⊆B，可得?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=alnx（a∈R），
∴f′(x)=

a

x

，
由題設(shè)f'（1）=1，∴a=1，
又切點為（1，0）在切線y=x+b上，∴b=-1．（4分）
（2）f（x）=lnx，∵A⊆B，∴?x∈[1，+∞），f(x)≤m(x-

1

x

)，即lnx≤m(x-

1

x

)，
設(shè)g(x)=lnx-m(x-

1

x

)，即?x∈[1，+∞），g（x）≤0，g′(x)=

1

x

-m(1+

1

x2

)=

-mx2+x-m

x2

，（6分）
①若m≤0，g'（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，g（x）≥g（1）=0，
這與題設(shè)g（x）≤0矛盾；（9分）
②若m＞0方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當△≤0，即m≥

1

2

時，g'（x）≤0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立，（12分）
當0＜m＜

1

2

時，方程-mx²+x-m=0，設(shè)兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
x1=

1- 1-4m2

2m

∈(0，1)，x2=

1+ 1-4m2

2m

∈(1，+∞)，
當x∈（1，x₂），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設(shè)矛盾，
綜上所述，m≥

1

2

．…..（15分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．