Question

已知函數f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）設h（x）=（a-1）x+3lnx+a．若函數k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知函數f（x）=ax+lnx，把a=2代入，然后求導，求出切點的斜率，從而求出曲線y=f（x）在x=1處的切線的方程；
（2）根據f（x）的導數，令f′（x）=0，求出極值點，再求出去單調區(qū)間；
（3）由k（x）=f（x）-h（x），把f（x），h（x）代入，然后對k（x）求導，求出其極值點和單調區(qū)間，然后根據k（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，求出a的范圍．

解答：解：（1）由已知f′(x)=2+

1

x

 (x＞0)，…（2分）
f'（1）=2+1=3．
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為，切點坐標（1，2）…（3分）
∴曲線y=f（x）在x=1處切線的方程為y-2=3（x-1）
即y=3x-1…（4分）
（a=0漏寫，扣1分）
（2）f′(x)=a+

1

x

=

ax+1

x

(x＞0)．…（5分）
①當a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）．…（6分）
②當a＜0時，由f'（x）=0，得x=-

1

a

．
在區(qū)間(0，-

1

a

)上，f'（x）＞0，在區(qū)間(-

1

a

，+∞)上f'（x）＜0，
∴函數f（x）的遞增區(qū)間為(0，-

1

a

)，遞減區(qū)間為(-

1

a

，+∞)．…（8分）
（3）∵k（x）=x-2lnx-a
∴k/(x)=

x-2

x

…（10分）
0＜x＜2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
x＞2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增      …（11分）
要使K（x）在[1，3]上恰有兩個不同零點，
則只需要

k(1)≥0 k(2)＜0 k(3)≥0

即

a≤1 a＞2-2ln2 a≤3-3ln2

…（13分）
則 2-2ln2＜a≤3-2ln3…（14分）

點評：此題是導數的應用，對已知函數進行求導，求出極值及單調區(qū)間，這類題是高考的熱點，每年都要考，難度中等．