Question

9．已知點(diǎn)A（a，-2），直線l的斜率為2a且過定點(diǎn)（0，2），B，C為直線l上的動點(diǎn)且|BC|=2$\sqrt{7}$，則△ABC的面積的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{7}$
• B． 7
• C． 2$\sqrt{7}$
• D． 14

Answer 1

分析 設(shè)直線l為y=2ax+b，把點(diǎn)（0，2）代入求得b，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求得△ABC邊BC上的高線，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行解答．

解答 解：直線l的斜率為2a且過定點(diǎn)（0，2），直線l的方程為：y-2=2ax，
點(diǎn)A（a，-2）到直線l的距離為：d=$\frac{|2{a}^{2}+2-2|}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
B，C為直線l上的動點(diǎn)且|BC|=2$\sqrt{7}$，
則△ABC的面積為：$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×$$\frac{2{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$=2$\sqrt{7}$×$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$最小時(shí)，三角形的面積最小，
令y=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{1+4{a}^{2}}}$，
設(shè)$\sqrt{1+4{a}^{2}}=t≥1$，
則y=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{4}}{t}$=$\frac{t}{4}-\frac{1}{4t}$，函數(shù)是增函數(shù)，t=1時(shí)，y取得最小值：1．
此時(shí)a=0．
三角形的面積的最小值為：2$\sqrt{7}$．
故選：C．

點(diǎn)評 考查待定系數(shù)法求直線方程、三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．