【題目】在三棱錐 中，底面 是邊長為 2 的正三角形，頂點 在底面上的射影為的中心，若為的中點，且直線與底面所成角的正切值為，則三棱錐外接球的表面積為（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】∵定點A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心，

而且底面BCD是正三角形，

∴三棱錐A﹣BCD是正三棱錐，∴AB=AC=AD，

令底面三角形BCD的重心（即中心）為P，

∵底面BCD為邊長為2的正三角形，DE是BC邊上的高，

∴DE=，∴PE=，DP=

∵直線AE與底面BCD所成角的正切值為2，即

∴AP=，

∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，

∴三棱錐為正四面體，構造正方體，由面上的對角線構成正四面體，故正方體的棱長為，

∴正方體的對角線長為，∴外接球的半徑為.

∴外接球的表面積=4πr2=6π．

故選D.

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A.7
B.6
C.5
D.4

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