【題目】已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)設(shè)過(guò)P直線l1與圓C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4時(shí),求以MN為直徑的圓Q的方程;
(2)設(shè)直線ax﹣y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由于圓C:x2+y2﹣6x+4y+4=0的圓心C(3,﹣2),半徑為3,

|CP|= ,而弦心距d= ,

所以d=|CP|= ,所以P為MN的中點(diǎn),

所以所求圓的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為 |MN|=2,

故以MN為直徑的圓Q的方程為(x﹣2)2+y2=4


(2)解:把直線ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圓C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a﹣1)x+9=0.

由于直線ax﹣y+1=0交圓C于A,B兩點(diǎn),

故△=36(a﹣1)2﹣36(a2+1)>0,即﹣2a>0,解得a<0.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,0).

設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,

由于l2垂直平分弦AB,故圓心C(3,﹣2)必在l2上.

所以l2的斜率kPC=﹣2,

∴kAB=a= ,

由于 ,

故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線l2垂直平分弦AB


【解析】(1)由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離,再根據(jù)弦長(zhǎng)|MN|的一半及半徑,利用勾股定理求出弦心距d,發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等,所以得到P為MN的中點(diǎn),所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo),半徑為|MN|的一半,根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可;(2)把已知直線的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,因?yàn)橹本與圓有兩個(gè)交點(diǎn),所以得到△>0,列出關(guān)于a的不等式,求出不等式的解集即可得到a的取值范圍,利用反證法證明:假設(shè)符合條件的a存在,由直線l2垂直平分弦AB得到圓心必在直線l2上,根據(jù)P與C的坐標(biāo)即可求出l2的斜率,然后根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為﹣1,即可求出直線ax﹣y+1=0的斜率,進(jìn)而求出a的值,經(jīng)過(guò)判斷求出a的值不在求出的范圍中,所以假設(shè)錯(cuò)誤,故這樣的a不存在.

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