【題目】12分)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2)

1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X1)X的數(shù)學(xué)期望;

2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.

)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

經(jīng)計算得,,其中xi為抽取的第i個零件的尺寸,i=1,2,,16

用樣本平均數(shù)作為μ的估計值,用樣本標準差s作為σ的估計值,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計μσ(精確到0.01).

附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.997 4,0.997 4160.959 2

【答案】1的數(shù)學(xué)期望為

(2)詳見解析

【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026,故.因此

.

的數(shù)學(xué)期望為.

(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

(ii)由,得的估計值為的估計值為,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外,因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.

剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,因此的估計值為10.02.

,剔除之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為,

因此的估計值為.

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