Question

【題目】若曲線f（x）= （e﹣1＜x＜e2﹣1）和g（x）=﹣x3+x2（x＜0）上分別存在點(diǎn)A、B，使得△OAB是以原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A.（e，e2）
B.（e， ）
C.（1，e2）
D.[1，e）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)A（x1 ， y1），y1=f（x1）= ，B（x2 ， y2），y2=g（x2）=﹣x23+x22（x＜0）， 則 =0，x2=﹣x1 ， ∴ ．
， ，
由題意， ，即 =0，
∴ ，
∵e﹣1＜x1＜e2﹣1，
∴ ，
則 ．
設(shè)h（x）= ，則h′（x）= ，
∵e﹣1＜x＜e2﹣1，
∴h′（x）＞0，
即函數(shù)h（x）= 在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上為增函數(shù)，
則 ，
即e＜a＜ ．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（e， ）．
故選：B．
由題意設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式把B的坐標(biāo)用A的坐標(biāo)表示，由 可得關(guān)于A的橫坐標(biāo)的方程，分離參數(shù)a后構(gòu)造函數(shù)h（x）= ，利用導(dǎo)數(shù)求其在（e﹣1＜x＜e2﹣1）上的單調(diào)性，得到函數(shù)的值域得答案．