曲線y=f(x)=ax3+bx2+cx,當x=1-時,f(x)有極小值，當x=1+處有極大值，且在x=1處切線的斜率為.

(1)求f(x)；

(2)曲線上是否存在一點P，使得y=f(x)的圖象關于點P中心對稱？若存在，請求出點P坐標，并給出證明；若不存在，請說明理由.

解:(1)f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵當x=1±時,f(x)有極小值及極大值,

∴f′(1±)=0,即1±為3ax2+2bx+c=0的兩根.

∴

∴b=-3a,c=-6a.                                                            

又∵f(x)在x=1處切線的斜率為,

∴f′(1)=,∴3a+2b+c=.

∴a=-,b=,c=1.

∴f(x)=-x3+x2+x.                                                      

(2)假設存在P(x0,y0)，使得f(x)的圖象關于P中心對稱，

則f(x0+x)+f(x0-x)=2y0,

即-(x0+x)3+(x0+x)2+x0+x-(x0-x)3+(x0-x)2+x0-x=2y0,

化簡得(1-x0)x2+x02+2x0-x03=2y0.

∵對于任意x∈R等式都成立,

∴

∴x0=1,y0=.易知P(1，)在曲線y=f(x)上.

∴曲線上存在P(1，)使得f(x)的圖象關于點P中心對稱.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=f(x)=ax-
b
x
在點（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，則a，b的值分別為（　�。�
A、
a=1
b=3
B、
a=-1
b=3
C、
a=1
b=-3
D、
a=-1
b=-3

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已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R．
（Ⅰ）若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值；
（Ⅱ）設x＞0，討論曲線y=
f(x)
x2
與直線y=m（m＞0）公共點的個數(shù)；
（Ⅲ）設a＜b，比較f(
a+b
2
)，
f(b)-f(a)
b-a
的大小，并說明理由．

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a(x-1)2
2x+b
，曲線y=f(x)與直線l：4x+3y-5=0切于點A的橫坐標為2，g(x)=2x-
1
3
．
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（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對于一切x∈[2，5]，總存在x1∈[m，n]，使f（x）=g（x1）成立，求n-m的最小值．

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12
處切線的斜率；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）設g（x）=2x，若對任意x1∈（0，+∞），存在x2∈[0，1]，使f（x1）＜g（x2），求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

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（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐標原點，A點是x軸上橫坐標為2的點，B點是曲線y=f(x)(0＜x≤
45
)上但不在x軸上的動點，求△AOB面積的最大值．

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