Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且AB=2，BC=

2

，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB與底面ABCD垂直．
（1）證明側(cè)面PBC與側(cè)面PAB垂直；
（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的大小；
（3）設(shè)平面PAB與平面PCD所成角是α，求sinα．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥側(cè)面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得到側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC．
（2）取AB中點E，連接PE、CE，根據(jù)（1）的結(jié)論和等腰三角形性質(zhì)，可得∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角，解三角形PCE即可求出側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角．
（3）以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量和平面PAB的法向量，由此能求出sinθ．

解答： （1）證明：在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD，側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥側(cè)面PAB，又∵BC?側(cè)面PBC，
∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC．
（2）解：取AB中點E，連接PE、CE，
又∵△PAB是等邊三角形，∴PE⊥AB，
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD，
∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角，
PE=

3

2

BA=

3

，CE=

BE2+BC2

=

3

，
在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求．
（3）解：在矩形ABCD中，取CD中點F，連EF、PF，則EF⊥AB，
以E為原點，EB為x軸，EF為y軸，EP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），A（-1，0，0），P（0，0，

3

），
C（1，

2

，0），D（-1，

2

，0），

PC

=（1，

2

，-

3

），

PD

=（-1，

2

，-

3

），
設(shè)平面PCD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • PC =x+ 2 y- 3 z=0 n • PD =-x+ 2 y- 3 z=0

，取y=

3

，得

n

=（0，

3

，

2

），
又平面PAB的法向量

m

=（0，1，0），
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

5

，
∴sinθ=

1- 3 5

=

10

5

．

點評：本題主要考查直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，考查面面垂直、線面角、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，是中檔題．