【題目】已知雙曲線M: =1(a>0,b>0)的上焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,B為虛軸的端點(diǎn),離心率e= ,且SABF=1﹣ .拋物線N的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)為F.
(1)求雙曲線M和拋物線N的方程;
(2)設(shè)動直線l與拋物線N相切于點(diǎn)P,與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,則以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點(diǎn)?如果經(jīng)過,試求出該點(diǎn)的坐標(biāo),如果不經(jīng)過,試說明理由.

【答案】
(1)

解:由雙曲線M: =1(a>0,b>0)的離心率e= = ,①

三角形的面積S= (c﹣a)b=1﹣ ,②

由c2=a2+b2,③

解得:a= ,b=1,c=2,

∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程: ,則雙曲線的上焦點(diǎn)F(0,2),

則拋物線N的方程:x2=8y;


(2)

解:由(1)可得拋物線N的方程:x2=8y,準(zhǔn)線方程y=﹣2,

由y= x2,y′= x,設(shè)P(x0, x02),則直線l的方程y﹣ x02= x0(x﹣x0),

即y= x0x﹣ x02,聯(lián)立y=﹣2,則Q( ,﹣2),

假設(shè)存在定點(diǎn)M(0,m)滿足假設(shè)條件,則 =0,對任意點(diǎn)恒成立,

=(x0, x02﹣m), =( ,﹣2﹣m),

﹣(m+2)( x02﹣m)=0,即 x02+m(m+2)﹣8=0,對任意實(shí)數(shù)x0(x0≠0)恒成立,

,解得:m=2,

∴以PQ為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)M(0,2).


【解析】(1)根據(jù)雙曲線的離心率公式及三角形的面積公式,即可求得a和b的值,即可求得雙曲線的方程,求得焦點(diǎn)坐標(biāo),即可求得p的值,求得拋物線N的方程;(2)利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程,聯(lián)立y=﹣2,即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo),由 x02+m(m+2)﹣8=0,對任意實(shí)數(shù)x0(x0≠0)恒成立,即可求得m的值,即可求得以PQ為直徑的圓是否恒過y軸上的一個定點(diǎn).

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甲:9,10,11,12,10,20

乙:8,14,13,10,12,21.

(1)在給出的方框內(nèi)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;

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(2)設(shè)a>﹣1,且當(dāng) 時,f(x)≤g(x),求a的取值范圍.

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