Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時， 在為增函數(shù)， 在為減函數(shù)；當時, 在為增函數(shù)，在為減函數(shù)；（2）.

【解析】試題分析：（1）先求出函數(shù)導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)符號的判定來下結(jié)論，因為此時導函數(shù)分子帶參數(shù)無法確定符號，故進行討論，通常根據(jù)參數(shù)大于0，等于0，小于0一一討論定號即可得出單調(diào)性，但要注意定義域的限制；（2）恒成立問題通常轉(zhuǎn)化最值問題求解，求參數(shù)取值范圍我們一般會優(yōu)先考慮參數(shù)分離形成新函數(shù)求最值，本題即可在上恒成立， 即在上恒成立。，接下來分析函數(shù) 在上的最大值即可得出結(jié)論

解析：（1）由題知： ,

當m≤0時， >0在x∈(0，＋∞)時恒成立,

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).

當m>0時, ,

令f′(x)>0，則 ；令f′(x)<0, 則.

∴f(x)在為增函數(shù)，f(x)在為減函數(shù).

(2)法一：由題知： 在上恒成立，

即在上恒成立。

令，所以

令g′(x)>0，則；令g′(x)<0，則.

∴g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

∴ ,∴.

法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需,

（1）當m≤0時，f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增，所以 ,

即，這與m≤0矛盾，此時不成立.

（2）當m>0時,

① 若即時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，

所以，即， 這與矛盾，此時不成立.

②若1< 即時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 .

所以即,

解得 ，又因為，所以 ,

③ 即m 2時，f(x)在 遞減，則,

∴ 又因為，所以m 2,綜上 .