Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差d＜0，前n項(xiàng)和T_n滿足T₃=15，且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）線求出公比，再利用a₂=2S₁+1，即可求a₁的值；
（2）設(shè){b_n}的公差為d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，從而可得數(shù)列的公差，利用求和公式，即可求T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1，
∴a_n=2S_n-1+1，
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n，
∴公比q=3，
∵a₂=2S₁+1，
∴3a₁=2a₁+1，
∴a₁=1；
（2）設(shè){b_n}的公差為d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5
故可設(shè)b₁=5-d，b₃=5+d，
∵a₁=1，a₂=3，a₃=9
∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
∴d=2或-10
∵d＜0，
∴d=-10
∴T_n=15n+

n(n-1)

2

×(-10)=-5n²+20n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．