Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{a}-\frac{1}{x}，x∈（{0，+∞}）$
（1）求證f（x）在（0，+∞）上遞增
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實數(shù)a的取值范圍
（3）當f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0即可證明f（x）在（0，+∞）上遞增；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，則則$\left\{\begin{array}{l}{n≥m＞0}\\{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，構造函數(shù)y=$\frac{1}{a}$與y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0），利用兩函數(shù)的圖象有兩個公共點，即求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立⇒a≥$\frac{x}{{2x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$在（0，+∞）上恒成立，構造函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$，利用基本不等式可求得g（x）_max，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 （1）證明：∵f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），
∴f'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，
則$\left\{\begin{array}{l}{n≥m＞0}\\{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=m+\frac{1}{m}}\\{\frac{1}{a}=n+\frac{1}{n}}\\{n≥m＞0}\end{array}\right.$，
故函數(shù)y=$\frac{1}{a}$與y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的圖象有兩個公共點，
∵當x＞0時，y=x+$\frac{1}{x}$≥2（當且僅當x=$\frac{1}{x}$，即x=1時取“=”），
∴$\frac{1}{a}$≥2，解得0＜a≤$\frac{1}{2}$．
（3）∵f（x）=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{x}$，f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立上，
∴a≥$\frac{x}{{2x}^{2}+1}$=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{2x+\frac{1}{x}}$，
則g（x）≤$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（當且僅當2x=$\frac{1}{x}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號），
要使（0，+∞）上恒成立，
故a的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）．

點評 本題主要考查函數(shù)恒成立問題，突出考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的應用，考查等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)方程思想，屬于難題．