已知正項數(shù)列{an}滿足a1=P（0＜P＜1），且an+1=
an
1+an
n∈N*
（1）若bn=
1
an
，求證：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）求證：
a1
2
+
a2
3
+
a3
4
+…+
an
n+1
＜1．
分析：（1）由已知，得bn+1-bn=1∴數(shù)列{bn}為等差數(shù)列；
（2）由（1）求出an=
1
n+
1
p
-1
＜
1
n
，再對
an
 n+1
放縮，使得能求和運算，并將結果與1比較．
解答：解：（1）b1=
1
a1
=
1
P

∴bn+1-bn=
1
an+1
-
1
an
=
1+an
an
-
1
an
=1& 

故數(shù)列{bn}是以b1=
1
P
為首項，以1為等差的等差數(shù)列              
（2）證明：bn=
1
an
=
1
p
+(n-1)⇒an=
1
n+
1
p
-1

∵0＜p＜1
 ∴
1
p
-1＞0
⇒an=
1
n+
1
p
-1
＜
1
n

a1
2
+
a2
3
+
a3
4
+…+
an
n+1
＜
1
2×1
+
1
3×2
+
1
4×3
+…+
1
(n+1)n

=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n
-
1
n+1

=1-
1
n+1
＜1
點評：本題考查等差數(shù)列的定義、通項公式、裂項法求和、不等式的證明．變形構造轉化．考查變形轉化構造、放縮、計算等能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足：a1=3，（2n-1）an+2=（2n+1）an-1+8n2（n＞1，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{
an
2n+1
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項an．
（2）設bn=
1
an
，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，并求Sn的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1，a2，…，an的“均倒數(shù)”，已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
，則
lim
n→∞
nan
sn
（　　）
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列an中，a1=2，點(
an
，an+1)在函數(shù)y=x2+1的圖象上，數(shù)列bn中，點（bn，Tn）在直線y=-
1
2
x+3上，其中Tn是數(shù)列bn的前項和．（n∈N+）．
（1）求數(shù)列an的通項公式；
（2）求數(shù)列bn的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an2+2an（n∈N+），令bn=log2（an+1）．
（1）求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；
（2）記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1•log2bn+2
}的前n項和，是否存在實數(shù)a，使得不等式Tn＜log0.5(a2-
1
2
a)對?n∈N+恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知正項數(shù)列{an}，Sn=
1
8
(an+2)2
（1）求證：{an}是等差數(shù)列；
（2）若bn=
1
2
an-30，求數(shù)列{bn}的前n項和．

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