已知正四面體A-BCD，動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為（ ）
A．橢圓的一部分
B．雙曲線的一部分
C．拋物線的一部分
D．一條線段
【答案】分析：將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)A的距離相等轉(zhuǎn)化成在面ABC中點(diǎn)P到A的距離與到定直線BC的距離比是一個(gè)常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．
解答：解：設(shè)二面角A-BC-D的平面角為θ，點(diǎn)P到平面BCD的距離為|PH|，點(diǎn)P到定直線CB的距離為d，則|PH|=dsinθ
∵點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等
∴dsinθ=|PA|
∴＜1
即在平面ABC中，點(diǎn)P到定點(diǎn)A的距離與定直線BC的距離之比是一個(gè)小于1的常數(shù)sinθ，
由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面ABC內(nèi)的一部分．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)A的距離相等轉(zhuǎn)化成在面ABC中點(diǎn)P到A的距離與到定直線BC的距離比是一個(gè)常數(shù)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲從點(diǎn)A開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年云南省玉溪一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（ ）

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2009-2010學(xué)年云南省玉溪一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知正四面體ABCD中，M、N分別是BC和AD中點(diǎn)，則異面直線AM和CN所成的角的正切值為（ ）

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省南京師大附中高考數(shù)學(xué)四模試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運(yùn)動(dòng)，且滿足EP∥平面ABD，試求點(diǎn)P的軌跡；
（3）有一個(gè)小蟲從點(diǎn)A開始按以下規(guī)則前進(jìn)：在每一個(gè)頂點(diǎn)處等可能地選擇通過這個(gè)頂點(diǎn)的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當(dāng)它爬了12cm之后，求恰好回到A點(diǎn)的概率．

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