Question

已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，設(shè)函數(shù),其中為非零常數(shù)
(I)求函數(shù)的解析式；
(II)當(dāng) 時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并且說明理由；
(III)證明：對任意的正整數(shù),不等式恒成立

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)，的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以c=0.
∵ ∴
即：
∴a=1,b=0,；……………………………………４分
（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?br />．，
令，，
，
∵，∴，在上恒成立，
即，當(dāng)時,函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減．………９分
（III）當(dāng)時，，令 
則在上恒正，
∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒有.，
即當(dāng)時，有，
對任意正整數(shù)，取得．………………１３分