若函數(shù)f（x）=
2
3
x3-
x2
2
+(a2-a-3)x．
（1）若f（x）在x=1處的切線方程式y(tǒng)=-2x+3，這樣的a是否存在？若存在，求出a的值，不存在說明理由．
（2）若f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．
分析：（1）要使得f（x）在x=1處的切線方程為y=-2x+3則f′（1）=-2⇒a=0或1，再利用切點為（1，1）可解；
 （2）f（x）在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增等價于f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為a2-a-3≥（x-2x2）max，從而得解．
解答：解：（1）設存在實數(shù)a，使得f（x）在x=1處的切線方程為y=-2x+3
則f′（1）=-2⇒a=0或1，
當a=0時，f(x)=
2
3
x3-
x2
2
-3x，不過(1，1)
當a=1時，f(x)=
2
3
x3-
x2
2
-3x，不過(1，1)
∴不存在這樣的a．
（2）f′（x）=2x2-x+a2-a-32x2-x+a2-a-3≥0在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥x-x2在x∈[1，3]上恒成立?a2-a-3≥（x-2x2）max，在x∈[1，3]x-2x2=-2(x-
1
4
)2+
1
8
，當x=1時，有最大值-1⇒a2-a-3≥-1⇒a≥2或a≤-1
點評：本題以函數(shù)為載體，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了恒成立問題的處理．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=|logax|（0＜a＜1）在區(qū)間（a，3a-1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是
1
2
＜a≤
2
3
1
2
＜a≤
2
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=（m-1）x2+2mx+m-2的圖象與x軸有兩個交點，則m的取值范圍是
m＞
2
3
且m≠1
m＞
2
3
且m≠1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當x∈[1，3）時，f(x)=
x-1，1≤x≤2
3-x，2＜x＜3
；②f（3x）=3f（x）．
（i）f（6）=
3
3
；
（ii）若函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次記為x1，x2，…，xn，…，則當a∈（1，3）時，x1+x2+…+x2n-1+x2n=
6（3n-1）
6（3n-1）
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•臨沂一模）已知函數(shù)f(x)=1-
a
x+1
-ln(x+1)，（a為常實數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)無極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知n∈N*，求證：ln(n+1)＞n-2(
1
2
+
2
3
+…+
n
n+1
)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+2在x=1處的切線與直線x+3y+1=0垂直，
（I）若x=
2
3
是函數(shù)f（x）的極值點，求f（x）的解析式；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[
3
2
，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍．

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