Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA+2bcosB=0．
（1）求角B的大小，
（2）若b=，求•的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正弦定理可求得sin（A+C）+2sinBcosB=0，再由誘導(dǎo)公式即可求得角B的大��；
（2）由余弦定理可求得a²+c²+ac=3，再利用基本不等式可求得ac≤1，由向量的數(shù)量積即可求得答案．
解答：解：（1）由acosC+ccosA+2bcosB=0及正弦定理得：sinAcosC+sinCcosA+2sinBcosB=0…2分
∴sin（A+C）+2sinBcosB=0…3分
∵A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，
∴sin（A+C）=sinB，…4分
∴sinB+2sinBcosB=0，…5分
∵sinB≠0，
∴cosB=-，又0＜B＜π，故B=…6分
（2）由b=及余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²+ac…7分
a²+c²+ac=3…8分
∵a²+c²≥2ac，
∴3ac≤3，
∴ac≤1，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=1時(shí)取等號(hào)…10分
∴•=||•||cosB=accosB=-ac≥-…11分
∴•的最小值為-…12分
點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．