Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-alnx的定義域是D，有下列四個命題：
①對于?a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）在D上是單調(diào)增函數(shù)；
②對于?a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）存在最小值；
③?a∈（-∞，0），使得對于x∈D，都有f（x）＞0成立；
④?a∈（0，+∞），使得函數(shù)f（x）有兩個零點．
其中是真命題的為

 

．（填所有符合要求的序號）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求導(dǎo)數(shù)，若為減函數(shù)則導(dǎo)數(shù)恒小于零；在開區(qū)間上，若有最小值則有唯一的極小值，若有零點則對應(yīng)方程有根．

解答： 解：由對數(shù)函數(shù)知：函數(shù)的定義域為：（0，+∞），f′（x）=e^x-

a

x

，
①∵a∈（-∞，0）∴f′（x）=e^x-

a

x

≥0，是增函數(shù)．所以①正確，
②∵a∈（0，+∞），∴存在x有f′（x）=e^x-

a

x

=0，可以判斷函數(shù)有最小值，②正確．
③畫出函數(shù)y=e^x，y=-alnx的圖象，如圖：顯然不正確．
④令函數(shù)y=e^x是增函數(shù)，y=alnx是減函數(shù)，所以存在a∈（0，+∞），f（x）=e^x-alnx=0有兩個根，正確．
故答案為：①②④

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題．