Question

函數(shù)y=f（x）（x≠0）是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈R⁺時(shí)是增函數(shù)，若f（1）=0，則不等式f[x(x-

1

2

)]＜0的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出f（-1）=0，再將不等式 f[x（x-

1

2

）]＜0分成兩類加以討論，再分別利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，可以得出相應(yīng)的解集再求并即可．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，且函數(shù)f（x）在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)．
∴f[x（x-

1

2

）]＜0?當(dāng)x（x-

1

2

）＞0時(shí)，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（1）或
當(dāng)x（x-

1

2

）＜0時(shí)，f[x（x-

1

2

）]＜0=f（-1）
根據(jù)f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是都是增函數(shù)，
得到：0＜x（x-

1

2

）＜1或x（x-

1

2

）＜-1⇒

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0 或x∈Φ
故答案為：{x|

1

2

＜x＜

1+ 17

4

或

1- 17

4

＜x＜0}

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．結(jié)合函數(shù)的草圖，會(huì)對(duì)此題有更深刻的理解．