Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3（n＞2，且n∈N^*），
（1）求證數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n+3=2（a_n-1+3），a₁+3=4，由此能證明數(shù)列{a_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知an+3=4×2n-1=2n+1，由此能求出an=2n+1-3．
（3）由（2）知Sn=22+23+…+2n+1-3n，由此利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+3（n≥2，且n∈N^*），
∴a_n+3=2（a_n-1+3），a₁+3=4，（2分）
∴

an+3

an-1+3

=2，n≥2，
∴數(shù)列{a_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列．（4分）
（2）解：∵數(shù)列{a_n+3}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，（5分）
∴an+3=4×2n-1=2n+1，（8分）
an=2n+1-3．（10分）
（3）解：∵an=2n+1-3．
∴Sn=22+23+…+2n+1-3n（12分）
=

4(1-2n)

1-2

-3n
=2ⁿ⁺²-3n-4．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．