Question

若a，b，c是正實數(shù)，u=

c

a+b

+

a

b+2c

+

b

a+2c

，則u的最小值為

 

．

Answer 1

考點：不等式的基本性質

專題：不等式的解法及應用

分析：令

x=a+b y=b+2c z=a+2c

，則

a= 1 2 (x+z-y) b= 1 2 (x+y-z) c= 1 4 (y+z-x)

，代入原式，化簡利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：令

x=a+b y=b+2c z=a+2c

，則

a= 1 2 (x+z-y) b= 1 2 (x+y-z) c= 1 4 (y+z-x)

，
代入原式可得：
原式=

1

4

(

y

x

+

z

x

-1)+

1

2

(

x

y

+

z

y

-1)+

1

2

(

y

z

+

x

z

-1)=(

y

4x

+

x

2y

)+(

z

4x

+

x

2z

)+(

z

2y

+

y

2z

)-

5

4

≥

2

2

+

2

2

+1-

5

4

=

2

-

1

4

，當且僅當y=z=

2

x時取等號，a=b=

4 2 +2

7

c時取等號．
故答案為：

2

-

1

4

．

點評：本題考查了“換元法”、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．