Question

18．如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．
（Ⅰ）設點M為棱PD中點，求證：EM∥平面ABCD；
（Ⅱ）線段PD上是否存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$？若存在，試確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）證明BP⊥平面ABCD，以B為原點建立坐標系，則$\overrightarrow{BP}$為平面ABCD的法向量，求出$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{EM}$的坐標，通過計算$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{BP}$=0得出$\overrightarrow{EM}⊥\overrightarrow{BP}$，從而有EM∥平面ABCD；
（II）假設存在點N符合條件，設$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PD}$，求出$\overrightarrow{BN}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$的坐標，令|cos＜$\overrightarrow{BN}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{5}$解出λ，根據(jù)λ的值得出結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB，
∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，
∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，
以B為原點，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{EM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{BP}$=（0，2，0）．
∵BP⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{BP}$為平面ABCD的一個法向量，
∵$\overrightarrow{EM}•\overrightarrow{BP}$=-1×0+0×2+$\frac{1}{2}×0$=0，
∴$\overrightarrow{EM}$⊥$\overrightarrow{BP}$．又EM?平面ABCD，
∴EM∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：當點N與點D重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{2}{5}$．
理由如下：
∵$\overrightarrow{PD}$=（2，-2，1），$\overrightarrow{CD}$=（2，0，0），
設平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=0}\\{2x-2y+z=0}\end{array}\right.$．令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，2）．
假設線段PD上存在一點N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于$\frac{2}{5}$．
設$\overrightarrow{PN}$=λ$\overrightarrow{PD}$=（2λ，-2λ，λ）（0≤λ≤1），∴$\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN}$=（2λ，2-2λ，λ）．
∴cos＜$\overrightarrow{BN}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{BN}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}\sqrt{9{λ}^{2}-8λ+4}}$=$\frac{2}{5}$．
∴9λ²-8λ-1=0，解得λ=1或$λ=-\frac{1}{9}$（舍去）．
∴當N點與D點重合時，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了線面平行的判斷，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．