Question

3．求函數(shù)y=$\frac{sinx-1}{cosx+\sqrt{2}-1}$的值域．

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的值域，解一元二次不等式求得函數(shù)y的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=$\frac{sinx-1}{cosx+\sqrt{2}-1}$，∴sinx-1=ycosx+$\sqrt{2}$y-y=0，即sinx-ycosx=（$\sqrt{2}$-1）y+1，
即 $\sqrt{1{+y}^{2}}$sin（x+θ）=（$\sqrt{2}$-1）y+1，即 sin（x+θ）=$\frac{（\sqrt{2}-1）y+1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$．
根據(jù)|sin（x+θ）|≤1，求得|$\frac{（\sqrt{2}-1）y+1}{\sqrt{{1+y}^{2}}}$|≤1，平方化簡可得（2$\sqrt{2}$-2）y²≥2（$\sqrt{2}$-1）y，
即 y（y-1）≥0，解得y≥1，或y≤0，即函數(shù)的值域為{x|y≥1，或y≤0}．

點(diǎn)評 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的值域，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．