Question

8．若以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且|AB|=|AC|，cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 2
• C． 3
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 先確定C在雙曲線的右支上，由雙曲線定義知$|{BD}|=\frac{1}{2}|{BC}|=\frac{1}{2}（2c-2a）=c-a$，利用$cos∠ABD=\frac{1}{3}$，可得$\frac{c-a}{2c}=\frac{1}{3}$，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：不妨設(shè)A、B為左、右焦點(diǎn)，實(shí)半軸長(zhǎng)為a，半焦距為c，若點(diǎn)C在雙曲線的左支上，設(shè)BC中點(diǎn)為D，則
由定義知|BD|=$\frac{1}{2}$|BC|=$\frac{1}{2}$（2c+2a）=c+a，
在Rt△ABD中，由cos∠ABC=$\frac{1}{3}$，故$\frac{c+a}{2c}=\frac{1}{3}，e=-3$，不可能．
故C在雙曲線的右支上，
設(shè)BC中點(diǎn)為D，則由雙曲線定義知$|{BD}|=\frac{1}{2}|{BC}|=\frac{1}{2}（2c-2a）=c-a$，
在Rt△ABD中，$cos∠ABD=\frac{1}{3}$，故$\frac{c-a}{2c}=\frac{1}{3}$，得$e=\frac{c}{a}=3$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，確定C在雙曲線的右支上是關(guān)鍵．