Question

3．已知函數(shù)f（x）=e^x+sinx-ax
（Ⅰ）求使得x=0成為f（x）極值點(diǎn)的a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a∈（0，2]，x∈[0，+∞）時(shí)，求f（x）最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算計(jì)算函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再利用函數(shù)極值的意義，令f′（0）=0即可解得a的值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=f′（x），求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，由x的范圍，判斷h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到h（x）的最小值，由條件可得最小值大于0，進(jìn)而得到f（x）遞增，可得f（x）的最小值為f（0）．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x+sinx-ax的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=e^x+cosx-a，
∵x=0是f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（0）=1+1-a=0，
解得a=2．
又當(dāng)a=2時(shí)，x＜0時(shí)，f′（x）=e^x+cosx-2＜0，
x＞0時(shí)f′（x）=e^x+cosx-2＞0，
∴x=0是f（x）的極小值點(diǎn)
∴a=2成立；
（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x+cosx-a，令h（x）=e^x+cosx-a，
h′（x）=e^x-sinx，由于x∈[0，+∞），ex≥1，sinx∈[-1，1]，
即有h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）遞增，即有h（x）≥h（0）=2-a，
又a∈（0，2），則2-a＞0，即有h（x）＞0，
則f′（x）＞0，即有f（x）在[0，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（0）=e⁰+0-0=1．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得最值，屬于中檔題．