Question

如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且
(1) 求證：；
(2) 若直線與平面所成的角為，求銳二面角的大小。

Answer 1

（1）過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題以直三棱柱為背景，考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，作出輔助線AD，即可得到，利用面面垂直的性質(zhì)，得到，再利用線面垂直的性質(zhì)，得到，同理，得到，利用線面垂直的判定，得到側(cè)面，從而利用線面垂直的性質(zhì)，得到；第二問，可以利用傳統(tǒng)幾何法，證明二面角的平面角為，在三角形中，利用邊角關系解出角的值，還可以利用向量法，建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，利用夾角公式計算.
試題解析：（1）證明：如圖，取的中點，連接，                    1分

因，則                            2分
由平面側(cè)面，且平面側(cè)面，    3分
得，又平面，            
所以.              4分
因為三棱柱是直三棱柱，
則，
所以.
又，從而側(cè)面 ，
又側(cè)面，故.                7分
（2）解法一：連接，由（1）可知，則是在內(nèi)的射影∴ 即為直線與所成的角，則        8分
在等腰直角中，，且點是中點
∴ ，且，
∴                                                  9分
過點A作于點，連
由（1）知，則，且
∴ 即為二面角的一個平面角                  10分
且直角中：
又，
∴ ，且二面角為銳二面角
∴ ，即二面角的大小為                 14分
解法二（向量法）：由（1）知且，所以以點為原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，且設，則
，        ，           ，            
，  ，   ，      9分
設平面的一個法向量
由，  得：
 令 ，得 ，則              10分
設直線與所成的角為，則
得，解得，即      12分
又設平面的一個法向量為，同理可得，
設銳二面角的大小為，則
，且，得
∴ 銳二面角的大小為。                              14分