Question

設(shè)在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，an+1=

3an

an+3

，
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據(jù)（1）猜測a_n的表達式；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述a_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）再遞推公式中，令n=1求出a ₂，令n=2求出 a ₃ 令n=3 求出 a₄
（2）結(jié)合（1）的計算結(jié)果進行歸納猜想．
（3）按照數(shù)學(xué)歸納法的思想和步驟進行證明即可．

解答：解：（1）a₂=

3× 1 2

1 2 +3

=

3

7

，
a₃=

3× 3 7

3 7 +3

=

3

8

，
a₄=

3× 3 8

3 8 +3

=

1

3

；
（2）根據(jù)（1）猜測a_n的表達式a_n=

3

n+5

；
（3）
證明：（1）當(dāng)n=1時，a₁=

3

1+5

=

1

2

，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即a_k=

3

k+5

則當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

3ak

ak+3

=

9 k+5

3 k+5 +3

=

3

k+6

=

3

(k+1)+5

，等式也成立
由（1）（2）可知，上述猜想對一切n∈N^*都成立

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式、歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法．