Question

正方形ABCD中，E為AB中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，將△AED、△BEF及△DCF分別沿DE、EF、DF折起，使A、B、C點(diǎn)重合于P點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求PD與平面DEF所成角的余弦值的大小．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直常證線面垂直而利用圖形折前折后的關(guān)系可得DP⊥PF，DP⊥PE然后利用線面垂直的判定定理可得DP⊥平面PEF即可得PD⊥EF．
（2）要求PD與平面DEF所成角需找到過點(diǎn)P且垂直于面DEF的垂線由于PE=PF，DE=DF故可取EF中點(diǎn)G，連DG，PG作PH⊥DG于H易證PH⊥平面DEF故PD與平面DEF所成角為∠PDG然后在Rt△PDG中求出∠PDG的余弦值即可．

解答：證明：（1）∵DP⊥PF，DP⊥PE
∴DP⊥平面PEF
∴PD⊥EF 
（2）取EF中點(diǎn)G，連DG，作PH⊥DG于H
∵E、F為中點(diǎn)
∴△ADE≌△CDF，故DE=DF，從而DG⊥EF
同理：EF⊥PG
又PG∩DG=G
∴EF⊥平面PDG，故EF⊥PH，從而PH⊥平面DEF
∴PD與平面DEF所成角為∠PDG
設(shè)正方形ABCD邊長為2，則
PD=2，DE=DF=

5

，EF=

2

，DG=

3

2

在Rt△PDG中，cos∠PDG=

PD

DG

=

2

3 2

=

2 2

3

點(diǎn)評：本題主要考查了線線垂直的證明和直線與平面所成的角的求解．解題的關(guān)鍵是要證線線垂直需證相面垂直這要從分利用折前折后圖形間的不變關(guān)系而第二問最關(guān)鍵的是要找到過點(diǎn)P且垂直于面DEF的垂線這更要求對圖形中的信息把握到位和對常用的輔助線的作法熟記于心！