Question

如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E為DB的中點，

(Ⅰ)證明：AE⊥BC；

(打)線段BC上是否存在一點F使得PF與面DBC所成的角為60°，若存在，試確定點F的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(Ⅰ)取BC的中點O，連接EO，AO，EO∥DC所以EO⊥BC　　2分 　　因為為等邊三角形，所以BC⊥AO　　4分 　　所以BC⊥面AEO，故BC⊥AE　　6分 　　(Ⅱ)方法一：連接PE，因為面BCD⊥面ABC，DC⊥BC 　　所以DC⊥面ABC，而EODC 　　所以EOPA，故四邊形APEO為矩形　　9分 　　易證PE⊥面BCD，連接EF，則PFE為PF與面DBC所成的角，即PFE＝　　11分 　　在Rt△PEF中，因為PE＝AO＝BC，故EF＝BC， 　　因為BC＝DC，所以EF＝DC，又E為BD的中點， 　　所以F為BC的中點　　14分 　　方法二：以BC的中點O為原點，OA所在的直線為x軸，OB所在的直線為y軸，OE所在的直線為z軸建立空間坐標系，不妨設(shè)BC＝2，則，設(shè)， 　　則，　　9分 　　而平面BCD的一個法向量，則由 　　　　12分 　　解得y＝0，故F為BC的中點．　　14分