Question

設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為6，離心率e=

6

3

，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求橢圓E標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是橢圓E上的兩點，

m

=(x1，

3

y1)，

n

=(x2，

3

y2)，且

m

•

n

=0，設(shè)M（x₀，y₀），且

OM

=cosθ•

OP

+sinθ•

OQ

（θ∈R），求x₀²+3y₀²的值；
（Ⅲ）如圖，若分別過橢圓E的左右焦點F₁，F(xiàn)₂的動直線?₁，?₂相交于P點，與橢圓分別交于A、B與C、D不同四點，直線OA、OB、OC、OD的斜率k₁、k₂、k₃、k₄滿足k₁+k₂=k₃+k₄．是否存在定點M、N，使得|PM|+|PN|為定值．若存在，求出M、N點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）首先，根據(jù)已知條件確定，a，b，c即可；
（Ⅱ）利用向量關(guān)系，建立關(guān)系式，然后，結(jié)合三角關(guān)系求解即可；
（Ⅲ）首先，對直線的斜率是否存在進行分類，然后，設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，建立關(guān)系式進行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）a=3，1-

b2

a2

=e2⇒

b2

9

=1-

6

9

⇒b2=3，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

9

+

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ） 

m

•

n

=0⇒x1x2+3y1y2=0，

x

2 1

+3

y

2 1

=9，

x

2 2

+3

y

2 2

=9，M（x₀，y₀），
則（x₀，y₀）=（x₁cosθ，y₁cosθ）+（x₂sinθ，y₂sinθ）
=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ）（6分）
則

x

2 0

+3

y

2 0

=(x1cosθ+x2sinθ)2+3(y1cosθ+y2sinθ)2
=(

x

2 1

+3

y

2 1

)cos2θ+(

x

2 2

+3

y

2 2

)sin2θ+2sinθcosθ(x1x2+3y1y2)
=9（sin²θ+cos²θ）=9…（8分）
（Ⅲ）據(jù)題，得 F1(-

6

，0)，F2(

6

，0)，
當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，
P點坐標(biāo)為（-

6

，0）或（

6

，0），
當(dāng)直線l₁、l₂斜率存在時，設(shè)斜率分別為m₁，m₂．
∴l(xiāng)₁的方程為y=m₁（x+

6

），l₂的方程為y=m₂（x-

6

）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立方程組

y=m1(x+ 6 ) x2 9 + y2 3 =1

，消去y，得，
(1+3

m

2 1

)x2+6

6

m

2 1

x+18

m

2 1

-9=0，

∴x1+x2=

-6 6 m 2 1

1+3 m 2 1

，x1x2=

18 m 2 1 -9

1+3 m 2 1

，
同理x3+x4=

6 6 m 2 2

1+3 m 2 2

，x3x4=

18 m 2 2 -9

1+3 m 2 2

．…（9分）
∵k1=

y1

x1

=

m1(x1+ 6)

x1

=m1+

6 m1

x1

，k2=

y2

x2

=m1+

6 m1

x2

，k3=

y3

x3

=m2-

6 m2

x3

，k4=

y4

x4

=m2-

6 m2

x4

…（10分）
又滿足k₁+k₂=k₃+k₄，
∴2m1+

6 m1(x1+x2)

x1x2

=2m2-

6 m2(x3+x4)

x3x4

⇒2m1+

6 m1(-6 6 m 2 _ )

18 m 2 1 -9

=2m2-

6 m2•6 6 m 2 2

18 m 2 2 -9

⇒m1m2=-

1

2

設(shè)點P（x，y），則

y

x+ 6

•

y

x- 6

=-

1

2

⇒

x2

6

+

y2

3

=1，（x≠±

6

）…（11分）
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時，P點坐標(biāo)為（-

6

，0）或（

6

，0）也滿足，
∴點P在橢圓

x2

6

+

y2

3

=1上，
則存在點M、N其坐標(biāo)分別為（-

3

，0）、（

3

，0），使得|PM|+|PN|=2

6

為定值．…（12分）

點評：本題重點考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，屬于難題．