Question

已知奇函數f（x）在[0，+∞）上的圖象是如圖所示的拋物線的一部分．
（1）請補全函數f（x）的圖象；
（2）求函數f（x）的表達式；
（3）根據圖象，寫出函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數的單調性及單調區(qū)間

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據奇函數圖象的特點，奇函數圖象關于原點對稱，補全函數f（x）的圖象；
（2）當x大于0時，根據圖象找出拋物線的頂點坐標，設出拋物線的頂點式，又根據拋物線過原點，把原點坐標代入即可確定出拋物線的解析式；當x小于0時，-x大于0，代入所求的拋物線解析式中，化簡可得x小于0時的解析式，綜上，得到f（x）的分段函數解析式；
（3）根據圖象及二次函數的對稱軸，即可寫出f（x）的遞增區(qū)間及遞減區(qū)間．

解答： 解：（1）根據奇函數圖象的特點，畫出圖形，如圖所示：
（2）當x≥0時，設f（x）=a（x-1）²⁺2，又f（0）=0，得a=-2，即f（x）=-2（x-1）²+2；
當x＜0時，-x＞0，則f（x）=-f（-x）=-[-2（-x-1）²+2]=2（x+1）²-2，
所以f（x）=

-2(x+1)2+2，(x≥0) 2(x+1)2-2，(x＜0)

；
（3）根據函數圖象可知：
函數f（x）的單調遞增區(qū)間是：[-1，1]．
函數f（x）的單調遞減區(qū)間是：（-∞，-1]或[1，+∞）

點評：此題考查了奇偶函數的對稱性，函數的單調性及單調區(qū)間，以及二次函數的圖象與性質．要求學生掌握奇偶函數的性質及二次函數的性質，掌握二次函數解析式的確定方法，運用數形結合的思想解決數學問題．