Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+2x+a，對(duì)于滿足x₁＜x₂且x₁+x₂=1-a的任意實(shí)數(shù)x₁與x₂，總有f（x₁）＜f（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若f（x₁）＜f（x₂）恒成立，故ax₁²+2x₁+a＜ax₁²+2x₁+a恒成立，結(jié)合x(chóng)₁＜x₂且x₁+x₂=1-a，可得a（1-a）+2＞0恒成立，解得答案．

解答： 解：若f（x₁）＜f（x₂）恒成立，
故ax₁²+2x₁+a＜ax₁²+2x₁+a恒成立，
即ax₁²+2x₁-（ax₁²+2x₁）＜0恒成立，
即a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（x₁-x₂）＜0恒成立，
∵x₁＜x₂且x₁+x₂=1-a，
∴a（1-a）+2＞0恒成立，即a²-a-2＜0恒成立，
解得a∈（-1，2），
又由a≠0，
∴a∈（-1，0）∪（0，2），
故答案為：（-1，0）∪（0，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知可得a（1-a）+2＞0，是解答的關(guān)鍵．