【題目】已知函數(shù),a∈R.
(Ⅰ)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(Ⅰ)y=0(Ⅱ)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,-),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(-,+∞)
【解析】
(Ⅰ)當時,求出函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出處的切線的斜率,利用點斜式求出切線方程;(II)當時,令,得,,分三種情況①,②當,③當,討論的單調(diào)區(qū)間.
(Ⅰ)f(x)的定義域為R,.
當a=1時,f′(0)=0,f(0)=0,
所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=0.
(Ⅱ)f′(x)=aex(x+1)-x-1=(x+1)(aex-1).
(1)當a≤0時,aex-1<0,
所以當x>-1時,f′(x)<0;當x<-1時,f′(x)>0.
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,+∞).
(2)當a>0時,令f′(x)=0,得x1=-1,x2=-lna.
①當-lna=-1,即a=e時,f′(x)≥0,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;
②當-lna<-1,即a>e時,
當-lna<x<-1時,f′(x)<0;當x<-lna或x>-1時,f′(x)>0.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-lna,-1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-lna),(-1,+∞);
③當-lna>-1,即0<a<e時,
當-1<x<-lna時,f′(x)<0;當x<-1或x>-lna時,f′(x)>0.
所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,-lna),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(-lna,∞).
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求在點處的切線方程;
(Ⅱ)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)若對任意的,在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在下列三個正方體中,均為所在棱的中點,過作正方體的截面.在各正方體中,直線與平面的位置關(guān)系描述正確的是
A. 平面的有且只有①;平面的有且只有②③
B. 平面的有且只有②;平面的有且只有①
C. .平面的有且只有①;平面的有且只有②
D. 平面的有且只有②;平面的有且只有③
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求的普通方程和極坐標方程;
(2)若與相交于、兩點,且,求的值.
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【題目】如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的外接球的體積為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,直線與拋物線交于兩點,線段的垂直平分線與直線交于點,當為拋物線上位于線段下方(含)的動點時,則面積的最大值為______.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|ax-2|,不等式f(x)≤4的解集為{x|-2≤x≤6}.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x+3),若存在x∈R,使g(x)-tx≤2成立,求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】科研人員在對人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中,獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數(shù)據(jù),如下表:
(年齡/歲) | 26 | 27 | 39 | 41 | 49 | 53 | 56 | 58 | 60 | 61 |
(脂肪含量/%) | 14.5 | 17.8 | 21.2 | 25.9 | 26.3 | 29.6 | 31.4 | 33.5 | 35.2 | 34.6 |
根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點圖.
(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點圖:
(i)求;
(i)計算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01),并刻畫它們的相關(guān)程度.
(2)若關(guān)于的線性回歸方程為,求的值(精確到0.01),并根據(jù)回歸方程估計年齡為50歲時人體的脂肪含量.
附:參考數(shù)據(jù):,,,,,,
參考公式:相關(guān)系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.
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