Question

如圖所示，把一個圓分成n（n≥2）個扇形，依次記為S₁、S₂、…、S_n-1，每一個扇形可用紅、黃、藍三種顏色中的任一種涂色，但要求相鄰扇形的顏色互不相同，問一共有多少種涂色方法？

Answer 1

分析：分類討論，利用當n＞2時，S₁有3種涂法，S₂有兩種涂法，S₃、…、S_n，依次有兩種涂法，故共有3×2^n-1種涂法，但其中S_n與S₁的顏色相同時有a_n-1種涂法，故an=3×2n-1-an-1（n＞2），即可得到結論．

解答：解：設分成n個扇形時，涂法的總數為a_n（n≥2）
n=2時，S₁有3種涂法，S₂與S₁的顏色不能相同，故對于S₁的每一種涂法，S₂僅有兩種涂法，故共有a₂=3×2=6種涂法；
當n＞2時，S₁有3種涂法，S₂有兩種涂法，S₃、…、S_n，依次有兩種涂法，故共有3×2^n-1種涂法，但其中S_n與S₁的顏色相同時有a_n-1種涂法，故an=3×2n-1-an-1（n＞2）
∴

an

2n

-1=-

1

2

（

an-1

2n-1

-1）
∴{

an

2n

-1}是首項為

1

2

，公比為-

1

2

的等比數列
∴

an

2n

-1=

(-1)n

2n-1

∴an=2[2n-1+(-1)n]（n≥2）
∴一共有2[2^n-1+（-1）ⁿ]（n≥2）種涂色方法．

點評：本題考查排列組合知識，考查等比數列的確定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．