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已知函數
(1)若的極大值為,求實數的值;
(2)若對任意,都有恒成立,求實數的取值范圍;
(3)若函數f(x)滿足:在定義域內存在實數x0,使f(x0+k)= f(x0)+ f(k)(k為常數),則稱“f(x)關于k可線性分解”. 設,若關于實數a 可線性分解,求取值范圍.
(1);(2);(3).

試題分析:本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值等基礎知識,考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問,利用導數求出極值,令極值為,解方程得b的值,先對求導,利用“為遞增函數,為遞減函數”判斷函數單調性,利用單調性判斷極大值為;第二問,將“對任意,都有恒成立”轉化為“”,令,利用導數求的最小值;第三問,先利用已知得到的解析式,代入到已知的f(x0+k)= f(x0)+ f(k)中,得到方程,根據函數定義域,得.
(1)由,得
,得.                    2分
變化時,的變化如下表:







-

+

-


極小值

極大值

 
所以的極大值為=,
.                            4分
(2)由,得
,且等號不能同時取,
,即 
恒成立,即              6分
,求導得,,
時,,從而,
上為增函數,
,
.                         9分
(3)證明:
由已知,存在,使關于實數a 可線性分解,則,
即:     10分
,                   12分
 
因為 所以                    14分
練習冊系列答案
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已知函數,其中.
(1)若曲線在點處的切線方程為,求函數的解析式;
(2)討論函數的單調性;
(3)若對于任意的,不等式上恒成立,求的取值范圍.

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設函數。
(1)若,求的單調區(qū)間;
(2)若當時,,求a的取值范圍。

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已知函數,.
(1)求的單調區(qū)間;
(2)當時,若對于任意的,都有成立,求的取值范圍.

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(2014·哈爾濱模擬)已知函數f(x)=x2+,g(x)=-m.若?x1∈[1,2],?x2∈[-1,1]使f(x1)≥g(x2),則實數m的取值范圍是__________.

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已知f(x)=aln x+x2(a>0),若對任意兩個不等的正實數x1,x2都有>2恒成立,則a的取值范圍是________.

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