【題目】如圖,五面體中,,平面平面,平面平面.,,點(diǎn)P是線段上靠近A的三等分點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析 (Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)題意,分別取,的中點(diǎn)M,N,連接,,,.
由題可知,.設(shè),則,由平面平面,得平面,同理平面.,從而.,則平面;由,所以,所以是以為斜邊的等腰直角三角形,再由,,得到.則平面.,再由面面平行的判斷定理得到平面平面,從而得證。
(Ⅱ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,得到,.求得平面的一個(gè)法向量,再求得的坐標(biāo),利用線面角的向量法求解。
(Ⅰ)
如圖,分別取,的中點(diǎn)M,N,連接,,,.
由題可知,.設(shè),
易知,且.
因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以平面.同理平面.
所以.
因?yàn)?/span>平面,平面,
故平面.
因?yàn)?/span>,,
所以.
因?yàn)?/span>,
所以,
所以是以為斜邊的等腰直角三角形,
所以,而,則.
因?yàn)?/span>平面,平面,
所以平面.
因?yàn)?/span>,
所以平面平面.
因?yàn)?/span>平面,所以平面.
(Ⅱ)
如圖,連接,以P為原點(diǎn),,所在直線分別為x軸,y軸,以過點(diǎn)P且垂直于平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè),
則,,,,,
所以,.
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,
則即
取,則,,即.
易知.
設(shè)直線與平面所成的角為.
故,
即直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】如圖,四棱錐的一個(gè)側(cè)面為等邊三角形,且平面平面,四邊形是平行四邊形,,,.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周牌算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖,現(xiàn)在提供6種不同的顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不同,則,區(qū)域涂同色的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),若函數(shù)僅有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
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【題目】“不忘初心、牢記使命”主題教育活動(dòng)正在全國開展,某區(qū)政府為統(tǒng)計(jì)全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間,從全區(qū)的黨員干部中隨機(jī)抽取n名,獲得了他們一周參加主題教育活動(dòng)的時(shí)間(單位:時(shí))的頻率分布直方圖,如圖所示,已知參加主題教育活動(dòng)的時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為92.
(1)估計(jì)這些黨員干部一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間的平均值;
(2)用頻率估計(jì)概率,如果計(jì)劃對(duì)全區(qū)一周參與主題教育活動(dòng)的時(shí)間在內(nèi)的黨員干部給予獎(jiǎng)勵(lì),且參與時(shí)間在,內(nèi)的分別獲二等獎(jiǎng)和一等獎(jiǎng),通過分層抽樣方法從這些獲獎(jiǎng)人中隨機(jī)抽取5人,再從這5人中任意選取3人,求3人均獲二等獎(jiǎng)的概率.
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【題目】如圖所示的幾何體中,為直三棱柱,四邊形為平行四邊形,, .
(1)若,證明:四點(diǎn)共面,且;
(2)若,二面角的余弦值為,求直線與平面所成角.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為別為、,且過點(diǎn)和.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(非長(zhǎng)軸端點(diǎn)),的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn),的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn),求面積的最大值.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)直線與軸的交點(diǎn)為,經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,求直線的傾斜角.
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