Question

對于在區(qū)間A上有意義的兩個函數f（x）和g（x），如果對任意的x∈A，恒有|f（x）-g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在A上是接近的，否則稱f（x）與g（x）在A上是非接近的．
（1）證明：函數f(x)=

1

3

x2+x與g(x)=

2

3

x+

1

3

在區(qū)間[-1，1]上是接近的；
（2）若函數f（x）=log_a（x-3a）與g(x)=loga

1

x-a

在區(qū)間[a+2，a+3]上是接近的，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：新定義

分析：（1）欲證明：函數f(x)=

1

3

x2+x與g(x)=

2

3

x+

1

3

在區(qū)間[-1，1]上是接近的；只須證明：當x∈[-1，1）時，|f(x)-g(x)|=|

1

3

x2+

1

3

x-

1

3

|≤

1

3

(|x|2+|x|+1)≤1即可；
（2）由于f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有

x-3a＞0 x-a＞0 |loga(x-a)(x-3a)|≤1

下面分別討論此三個不等式恒成立的條件即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（1）證明：當x∈[-1，1)時，|f(x)-g(x)|=|

1

3

x2+

1

3

x-

1

3

|≤

1

3

(|x|2+|x|+1)≤1
故f（x）與g（x）在[-1，1]上是接近的   …（4分）
（2）f（x）與g（x）在[a+2，a+3]上是接近的?對任意的x∈[a+2，a+3]，恒有

x-3a＞0 x-a＞0 |loga(x-a)(x-3a)|≤1

…①…②…③
由①②恒成立⇒

a+2-3a＞0 a+2-a＞0 a＞0且a≠1

⇒0＜a＜1…（8分）
③恒成立?-1≤log_n（x-a）（x-3a）≤1（x∈[a+2，a+3]）?a≤(x-a)(x-3a)≤

1

a

(x∈[a+2，a+3])
由0＜a＜1知2a＜a+2，故函數ϕ（x）=（x-a）（x-3a）
在[a+2，a+3]上遞增，因此有

ϕ(a+2)≥a ϕ(a+3)≤ 1 a 0＜a＜1

即

2(2-2a)≥a 3(3-2a)≤ 1 a 0＜a＜1

解之得：0＜a≤

9- 57

12

綜上所述得a的取值范圍是(0，

9- 57

12

]．…（14分）

點評：本題主要考查對數函數的性質和應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，解題時要注意函數恒成立的充要條件的合理運用．