Question

2．已知點(diǎn)A（1，0），B（3，0），若直線y=kx+1上存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PB，則k的取值范圍是$[-\frac{4}{3}，0]$．

Answer 1

分析 以AB為直徑圓的方程為：（x-1）（x-3）+y²=0，把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，根據(jù)直線y=kx+1上存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PB，可得△≥0，解出即可得出．

解答 解：以AB為直徑圓的方程為：（x-1）（x-3）+y²=0，
把y=kx+1代入上述方程可得：（1+k²）x²+（2k-4）x+4=0，
∵直線y=kx+1上存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PB，
∴△=（2k-4）²-16（1+k²）≥0，化為：3k²+4k≤0．
解得$-\frac{4}{3}≤k≤$0，
則k的取值范圍是$[-\frac{4}{3}，0]$．
故答案為：$[-\frac{4}{3}，0]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的方程、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．