Question

用白鐵皮做一個(gè)平底、圓錐形蓋的圓柱形糧囤，糧囤容積為（不含錐形蓋內(nèi)空間），蓋子的母線與底面圓半徑的夾角為，設(shè)糧囤的底面圓半徑為R，需用白鐵皮的面積記為（不計(jì)接頭等）。

（1）將表示為R的函數(shù)；

（2）求的最小值及對應(yīng)的糧囤的總高度。（含圓錐頂蓋）

 

Answer 1

（1），（2），對應(yīng)糧囤的總高度為.

【解析】

試題分析：（1）立體幾何應(yīng)用題，實(shí)際考查立體幾何的側(cè)面積. 根據(jù)圓錐及圓柱側(cè)面積公式得：（>0），（2）對復(fù)雜函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值.由，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，且，此時(shí)圓柱的高為，圓錐蓋的高為，所以糧囤的總高度為.

試題解析：（1）

（>0） 7分

（2），令，得 10分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，且， 13分

此時(shí)圓柱的高為，圓錐蓋的高為，所以糧囤的總高度為 15分

答：（1）；（2），對應(yīng)糧囤的總高度為。 16分

考點(diǎn)：圓錐及圓柱側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)求最值