Question

9．如圖1，∠ACB=45°，BC=3，過動點A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=θ，且θ∈（0，π）（如圖2所示）．

（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面BDC；
（Ⅱ）若θ=90°，當(dāng)BD的長為多少時，三棱錐A-BCD的體積最大；并求出其體積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：AD⊥平面BCD，即可證明平面ABD⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)BD=x，先利用線面垂直的判定定理證明AD即為三棱錐A-BCD的高，再將三棱錐的體積表示為x的函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可．

解答 （Ⅰ）證明：在如圖1所示的△ABC中，由折起前AD⊥BC知，折起后（如圖2），AD⊥DC，AD⊥BD，
且BD∩DC=D，∴AD⊥平面BCD．
又AD?平面ABD，
∴面ABD⊥平面BDC．    …（6分）
（Ⅱ）解：在△ABC中，設(shè)BD=x，則CD=3-x
∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3-x
∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D
∴AD⊥平面BCD
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$×AD×S_△BCD=$\frac{1}{3}$×（3-x）×$\frac{1}{2}$×x（3-x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）
設(shè)f（x）=$\frac{1}{6}$（x³-6x²+9x）  x∈（0，3），
∵f′（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）（x-3），∴f（x）在（0，1）上為增函數(shù)，在（1，3）上為減函數(shù)
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取最大值
∴當(dāng)BD=1時，三棱錐A-BCD的體積最大． …（12分）

點評 本題主要考查了面面垂直的判定，考查三棱錐A-BCD的體積的計算，考查折疊問題中的不變量，有一定的運算量，屬中檔題．