Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+ax+b，（a，b∈R）在x=2處取得極小值-

4

3

，
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間．
（2）若

1

3

x³+ax+b≤m²+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立，求實數m的取值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求f′（x），根據f（x）在x=2處取得極小值得到：

f′(2)=0 f(2)=- 4 3

，這樣即可求出a，b；
（2）只要使

1

3

x3-4x+4的最大值小于等于m2+m+

10

3

，所以求出這個最大值即可求得m的取值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²+a，由已知條件得：

4+a=0 8 3 +2a+b=- 4 3

，解得a=-4，b=4；
令f′（x）=x²-4＞0，得x＜-2，或x＞2；
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）；
（2）要使

1

3

x3-4x+4≤m2+m+

10

3

在[-4，3]上恒成立，只要使fmax(x)≤m2+m+

10

3

；
由（1）知f（x）在（-2，2）上是減函數，在[-4，-2]及[2，3]上是增函數，且f(-2)=

28

3

，f(3)=1
∴f（x）在[-4，3]上的最大值是

28

3

；
∴m2+m+

10

3

≥

28

3

，解得m≤-3，或m≥2．
即：m的取值為：m≤-3，或m≥2．

點評：考查極值的概念，根據導數求函數極值，進而求最值的方法及解一元二次不等式．