Question

已知f（x）=e^x-x，g（x）=asinx+b，g（x）在（

π

6

，g（

π

6

））處的切線方程為6

3

x-12y+18-

3

π=0
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間與極值；
（Ⅱ）求g（x）的解析式；
（Ⅲ）當x≥0時，g（x）≤me^x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）令f′（x）=e^x-1=0，得x=1，由此利用導數(shù)性質能求出f（x）的單調區(qū)間與極值．
（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（

π

6

）=

3

2

a=

6 3

12

，由此利用導數(shù)的性質能求出g（x）=sinx+1．
（Ⅲ）當x≥0時，sinx+1≤me^x，令h（x）=sinx+1-me^x，由此利用分類討論思想和導數(shù)性質能求出實數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）令f′（x）=e^x-1=0，得x=0，（1分）
∴當x＞0時，f′（x）＞0；當x＜0時，f′（x）＜0．
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），減區(qū)間為（0，+∞），
∴f（x）_極小值=f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）g′（x）=acosx，g′（

π

6

）=

3

2

a=

6 3

12

，解得a=1．
又g（

π

6

）=

1

2

+b，
∴6

3

•

π

6

-12（

1

2

+b）+18-

3

π=0，∴b=1，
∴g（x）=sinx+1．（ 6分）
（Ⅲ）當x≥0時，sinx+1≤me^x，令h（x）=sinx+1-me^x，
當m＜1時，h（0）=1-m＞0矛盾，（ 8分）
首先證明sinx≤x在[0，+∞）恒成立．
令r（x）=sinx-x，r′（x）=cosx-1≤0，
故r（x）為[0，+∞）上的減函數(shù)，
r（x）≤r（0）=0，故sinx≤x，（10分）
由（Ⅰ）知e^x≥x+1，故當m≥1時，
h（x）=sinx+1-me^x≤e^x-me^x
=e^x-me^x=（1-m）e^x≤0，
綜上m≥1．（12分）

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，利用函數(shù)的性質解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用．