Question

11．已知曲線y=$\sqrt{x}$，求
（1）與直線y=2x-4平行的曲線的切線方程；
（2）求過點(diǎn)P（0，1）且與曲線相切的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與直線y=2x-4平行，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出曲線與直線y=2x-4平行的切線的方程．
（2）設(shè)切點(diǎn)，可得切線方程，代入P，可得切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出過點(diǎn)P（0，1）且與曲線相切的直線的方程．

解答 解：（1）若切線與直線y=2x-4平行，
則切線的斜率k=2，
∵y=$\sqrt{x}$得導(dǎo)數(shù)f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
由f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$=2，得$\sqrt{x}$=$\frac{1}{4}$，
則x=$\frac{1}{16}$，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{4}$），
則曲線的切線方程為y-$\frac{1}{4}$=2（x-$\frac{1}{16}$），
即y=2x+$\frac{1}{8}$；
（2）設(shè)切點(diǎn)（a，$\sqrt{a}$），則f′（a）=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
∴切線方程為：y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
將點(diǎn)P（0，1）代入可得1-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（0-a）=-$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
即$\frac{\sqrt{a}}{2}$=1，
∴a=4，
當(dāng)直線為x=0時(shí)，直線x=0也與y=$\sqrt{x}$相切，
∴直線方程為：x-4y+4=0或x=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和方程是解決本題的關(guān)鍵．